infoschoolИнформатика в школеInformatics in school2221-1993Publishing House Education and Informatics10.32517/2221-1993-2025-24-1-10-17infoschool-832Research ArticleКОНКУРС ИНФО-2024INFO-2024 CONTESTЗадачи с математическим содержанием на олимпиадах и конкурсах по информатикеTasks with mathematical content in Olympiads and competitions in informaticsКорниловП. А.KornilovP. A.

Корнилов Петр Анатольевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры теории и методики обучения информатике, физико-математический факультет, Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского

г. Ярославль

Petr A. Kornilov, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Docent, Associate Professor at the Department of Theory and Methods of Teaching Informatics, Faculty of Physics and Mathematics

Yaroslavl

kornilovpa@yandex.ruФедотоваН. П.FedotovaN. P.

Федотова Наталья Петровна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры компьютерной безопасности и математических методов обработки информации

г. Ярославль

Natalia P. Fedotova, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor at the Department of Computer Security And Mathematical Methods of Data Processing, the Mathematics Faculty

Yaroslavl

natatulik@yandex.ruЯрославский государственный педагогический университет им. К. Д. УшинскогоРоссияYaroslavl State Pedagogical University named after K. D. UshinskyRussian FederationЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваРоссияYaroslavl State University named after P. G. DemidovRussian Federation202514042025011017Copyright © Корнилов П.А., Федотова Н.П., 20252025Корнилов П.А., Федотова Н.П.Kornilov P.A., Fedotova N.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://school.infojournal.ru/jour/article/view/832

Математические понятия и алгоритмы присутствуют в базовом и углубленном курсах информатики основной и средней школы, в задачах единого государственного экзамена и задачах олимпиад и конкурсов по программированию. Содержательные линии математики и информатики во многом пересекаются, главным образом в разделах дискретной математики: математическая логика, теория графов, комбинаторика, системы счисления, модульная арифметика и др. В статье приводятся примеры математических задач, которые оказываются полезными при изучении различных разделов курса информатики. Рассматривается использование полуинвариантов и инвариантов при решении математических задач и верификации программ. Приведены примеры задач на нетрадиционные системы счисления, которые используются при создании аппаратного и программного обеспечения персональных компьютеров. Обсуждаются вопросы арифметики остатков, которые связаны с современными стандартами шифрования информации. Большинство задач, включенных в данную статью, рассчитаны на хорошо подготовленных и мотивированных школьников. Они предлагались авторами на различных олимпиадах и конкурсах по информатике для школьников Ярославской области.

Mathematical concepts and algorithms are present in the basic and advanced informatics courses of primary and secondary schools, in the tasks of the Unified State Exam and tasks of Olympiads and competitions in programming. the content lines of mathematics and informatics overlap in many ways, mainly in the sections of discrete mathematics: mathematical logic, graph theory, combinatorics, number systems, modular arithmetic, etc. the article provides examples of mathematical tasks that are useful when studying various sections of the informatics course. the use of semi-invariants and invariants in solving mathematical tasks and verifying programs is considered. Examples of tasks on non-traditional number systems that are used in creating hardware and software for personal computers are given. the issues of remainder arithmetic related to modern information encryption standards are discussed. Most of the tasks included in the article are created for well-prepared and motivated students. they were proposed by the authors at various Olympiads and competitions in informatics for schoolchildren in the Yaroslavl region.

математические основы информатикиинвариантыверификация программарифметика остатковсистемы счисленияmathematical foundations of informaticsinvariantsprogram verificationremainder arithmeticnumber systemsReferencesАбдуразаков М. М., Лягинова О. Ю., Цветкова О. Н. Информатика, математика и логика в аспекте межпредметной и метапредметной образовательной связи // Чебышевcкий сборник. 2021. Т. 22. Вып. 2. С. 373–388. EDN: RUTLFH. DOI: 10.22405/2226-8383-2021-22-2-373-388.Абдуразаков М. М., Лягинова О. Ю., Цветкова О. Н. Информатика, математика и логика в аспекте межпредметной и метапредметной образовательной связи // Чебышевcкий сборник. 2021. Т. 22. Вып. 2. С. 373–388. EDN: RUTLFH. DOI: 10.22405/2226-8383-2021-22-2-373-388.Алферов А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черемушкин А. В. Основы криптографии. М.: Гелиос АРБ, 2002. 480 с.Алферов А. П., Зубов А. Ю., Кузьмин А. С., Черемушкин А. В. Основы криптографии. М.: Гелиос АРБ, 2002. 480 с.Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2002. 264 с.Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2002. 264 с.Андреева Е. В., Босова Л. Л., Фалина И. Н. Математические основы информатики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 312 с. EDN: WPNTBT.Андреева Е. В., Босова Л. Л., Фалина И. Н. Математические основы информатики. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 312 с. EDN: WPNTBT.Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.Виленкин Н. Я. Алгебра и теория чисел. 2-е изд. М.: Просвещение, 1984. 192 с.Виленкин Н. Я. Алгебра и теория чисел. 2-е изд. М.: Просвещение, 1984. 192 с.Волченков С. Г., Корнилов П. А., Белов Ю. А., Дашниц Н. Л., Никулин В. А., Заводчикова Н. И. Ярославские олимпиады по информатике. Сборник задач с решениями. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 406 с. EDN: SUGHPX.Волченков С. Г., Корнилов П. А., Белов Ю. А., Дашниц Н. Л., Никулин В. А., Заводчикова Н. И. Ярославские олимпиады по информатике. Сборник задач с решениями. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 406 с. EDN: SUGHPX.Журавлев Ю. И. Фундаментально-математический и общекультурный аспекты школьной информатики // Вопросы образования. 2005. № 3. С. 192–200. EDN: ZUYHMG.Журавлев Ю. И. Фундаментально-математический и общекультурный аспекты школьной информатики // Вопросы образования. 2005. № 3. С. 192–200. EDN: ZUYHMG.Заводчиков М. А., Заводчикова Н. И. Элементы теории чисел как математическая основа решения задач на обработку целочисленной информации // Информатика в школе. 2021. № 8. С. 32–36. EDN: HNRMEM. DOI: 10.32517/2221-1993-2021-20-8-32-36.Заводчиков М. А., Заводчикова Н. И. Элементы теории чисел как математическая основа решения задач на обработку целочисленной информации // Информатика в школе. 2021. № 8. С. 32–36. EDN: HNRMEM. DOI: 10.32517/2221-1993-2021-20-8-32-36.Заводчикова Н. И. Использование графической системы разрядов при изучении темы «Системы счисления» // Информатика в школе. 2023. № 2. С. 55–62. EDN: WDDJTC. DOI: 10.32517/2221-1993-2023-22-2-55-62.Заводчикова Н. И. Использование графической системы разрядов при изучении темы «Системы счисления» // Информатика в школе. 2023. № 2. С. 55–62. EDN: WDDJTC. DOI: 10.32517/2221-1993-2023-22-2-55-62.Златопольский Д. М. Об уравновешенной троичной системе счисления // Мир информатики. 2017. № 9. С. 1–4. https://infojournal.ru/wp-content/uploads/2020/03/mir_info-2-2017-1.pdfЗлатопольский Д. М. Об уравновешенной троичной системе счисления // Мир информатики. 2017. № 9. С. 1–4. https://infojournal.ru/wp-content/uploads/2020/03/mir_info-2-2017-1.pdfНестеренко А. Ю. Введение в современную криптографию. Теоретико-числовые алгоритмы. М.: Изд-во Московского государственного института электроники и математики (технический университет), 2011. 190 с.Нестеренко А. Ю. Введение в современную криптографию. Теоретико-числовые алгоритмы. М.: Изд-во Московского государственного института электроники и математики (технический университет), 2011. 190 с.Сгибнев А. И. Делимость и простые числа. 2-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2013. 112 с.Сгибнев А. И. Делимость и простые числа. 2-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2013. 112 с.Семенов А. Л. Современный курс математики и информатики в школе // Содержание образования. 2004. № 1. С. 103–118. EDN: ZOQKOM.Семенов А. Л. Современный курс математики и информатики в школе // Содержание образования. 2004. № 1. С. 103–118. EDN: ZOQKOM.Системы обработки информации. Защита криптографическая. Алгоритм криптографического преобразования данных. ГОСТ 28147-89. М.: ИПК «Издательство стандартов», 1989. 28 с.Системы обработки информации. Защита криптографическая. Алгоритм криптографического преобразования данных. ГОСТ 28147-89. М.: ИПК «Издательство стандартов», 1989. 28 с.Шень А. Х. Программирование: теоремы и задачи. М.: МЦНМО, 2017. 320 с.Шень А. Х. Программирование: теоремы и задачи. М.: МЦНМО, 2017. 320 с.Diffie W., Hellman M. E. New Directions in Cryptography // IEEE Transactions on Information Theory. 1976. Vol. 22. Is. 6. P. 644–654.Diffie W., Hellman M. E. New Directions in Cryptography // IEEE Transactions on Information Theory. 1976. Vol. 22. Is. 6. P. 644–654.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.